Transformées de Fourier
La petite histoire
Comprendre simplement
Domaines de présence
Son interprétation dans l'avenir
Les références
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La petite histoire  Up Page
Origine, raisons, hasard

Comprendre simplement  Up Page
Vulgarisation, de 7 à 77 ans
Une transformée de Fourier est une transformation mathématique qui permet de trouver toutes les fréquences constitutives d'un signal (on parle aussi de décomposition spectrale d'un signal).
 
Le signal ci-contre, dont la forme peut paraître à première vue très compliquée peut en fait, via transformées de Fourrier, être représenté comme la superposition de signaux sinusoïdaux simples.
 
 
Pour mieux fixer les idées, voici la représentation d'un signal très simple : le La 440 (ou la du diapason)

Ce signal vibre 440 fois par seconde: sa fréquence est de 440 hertz (ou Hz)
A gauche: sa représentation amplitude-temps
A droite: sa représentation intensité-fréquence (ce qu'on appelle le spectre)
 
Considérons maintenant, ce signal (relativement simple):

Il peut-être décomposé sous la forme des deux signaux suivants:

+

En terme de spectre (voir ci-dessous), on voit que le signal général est la superposition d'un signal qui vibre à 440 Hz et d'un signal à 880 Hz, les deux pics de fréquences ayant ici la même intensité.

Domaines de présence  Up Page
Multiplication égyptienne
Une technique ancestrale, consistait à transformer un produit de deux nombres entiers, en une suite d'additions et de multiplications par 2, bien commodes quand on travaille en base 2 comme le font les ordinateurs (algèbre binaire). Jusque dans les années soixante-dix, les ordinateurs ne savaient pas faire mieux quer l'Egypte antique pour effectuer une multiplication. La redécouverte de travaux du XIXe siècle a permis de faire un immense saut en avant avec le développement d'une technique véloce et efficace: la transformée de Fourier rapide.

Son interprétation dans l'avenir  Up Page
Décomposition de signal
La "transformée de Fourier rapide" est liée aux travaux du mathématicien français Joseph Fourier, a été redémontrée par James Cooley et John Tukey en 1965. Initialement conçue pour des problèmes de décomposition de signaux en somme de signaux sinusoïdaux, elle a été ensuite adaptée en 1971 par Arnold Schönhage et Volker Strassen pour permettre, enfin, de gagner du temps lors du produit de deux nombres.
Effectivement, pour multiplier deux nombres de n chiffres, il faut n² opérations élémentaires, sans même parler des additions qui suivent dans la seconde étape du calcul. Avec la transformation de Fourier rapide, le temps de calcul du produit est considérablement réduit: <5n. Exactement nlog2(n)log[log2(n)]. Plus les nombres sont grands, plus la transformation de Fourier rapide devient avantageuse.
 
Tout nombre entier peut se décomposer en une fonction polynome P(x) de degré n, telle que P(x)=anxn+an-1xn-1+ ... +a1x+a0. On en fera de même pour le produit PQ des nombres P et Q obtenu. Ensuite, il suffira de connaître les "racines n-ièmes de l'unité" de ce nouveau nombre PQ. Il s'agit de nombres complexes vérifiant la relation ωn=1. La liste des racines n-ièmes de l'unité peut s'écrire sous la forme d'une suite de puissances d'un même nombre complexe: 1, ω, ω2, ω3, ω4, etc, jusqu'à ωn-1; ω étant une racine n-ième de l'unité choisie. A cette commodité de calcul, se rajoute une technique consistant à partager le calcul en deux sous-calculs indépendants: l'un traite les puissances paires, l'autre les puissances impaires. D'autant mieux que chaque sous-calcul peut lui aussi se partager en deux, et ainsi de suite.

Les références  Up Page
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Automates Intelligents
Recherche février 2005 n°383
 
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Je crois que, si les êtres humains que nous sommes ne parviennent pas toujours à évoluer comme ils le souhaiteraient _à s'épanouir professionnellement, sentimentalement et sexuellement (ce que j'appelle les trois pôles d'intérêts) c'est parce qu'il y a des barrages qui entravent leur désir d'accéder à un rêve inachevé. Je pars du principe que tout est possible, à condition de s'entourer de gens qui nous poussent à croire en nous.
 
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