Solution de Schwarzschild
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La petite histoire  Up Page
Origine, raisons, hasard
Les travaux de l'astronome allemand Karl Schwarzschild porte sur la solution aux équations d'Einstein décrivant le champ de gravitation à l'intérieur et à l'extérieur d'une boule de matière, en supposant que la densité y est homogène (ces hypothèses constituent un modèle très simplifié d'étoile). La solution obtenue pour l'intérieur de la sphère fait apparaître le paradoxe suivant. En ajoutant de la matière à cette sphère homogène, son rayon croît en même temps que sa masse. Cependant, les calculs montrent qu'au-delà d'une taille (et donc d'une masse) limite, la pression au centre de l'étoile devient infini. Aucun astre ne pourrait donc exister au-delà de cette limite.
Toutefois, l'hypothèse d'une densité de matière est peu conforme à l'esprit de la relativité, car, dans cette théorie, la densité de matière n'est pas une grandeur invariante (la masse peut se transformer en énergie et des observateurs en mouvement les uns par rapport aux autres n'observent pas, pour les mêmes objets, des énergies ou des densités de matière identiques).
Lemaître refait les calculs de Schwarzschild en abandonnant l'idée d'une densité constante montre, contre toute attente et notamment celle d'Eddington, que le paradoxe découvert par Schwarzschild subsiste: il existe bien un rayon limite au-delà duquel aucun un astre ne peut plus être en équilibre.

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Vulgarisation, de 7 à 77 ans
Einstein calcula en 1915 la rotation du périhélie de Mercure, en n’utilisant qu’une correction "relativiste" à la solution newtonienne. La solution exacte de l’équation d’Einstein, donnant la géométrie de l’espace-temps autour d’une masse ponctuelle fut publiée quelques semaines plus tard par l’astronome Karl Schwarzschild.
Schwarzschild s’était intéressé à la théorie des orbites dès 1889 et à la géométrie non euclidienne dès 1900, et il était donc particulièrement intéressé par la nouvelle théorie d’Einstein.
Il utilisa la symétrie sphérique du problème (toutes les directions de l’espace sont équivalentes autour de la masse ponctuelle) et son caractère statique (c’est-à-dire que la géométrie est indépendante du temps dans le référentiel lié à la masse).
Quelques années plus tard, Birkhoff montrait que la solution de Schwarzschild était en fait la solution générale de l’équation d’Einstein pour un espace-temps à symétrie sphérique et vide de matière: nul besoin se supposer la masse ponctuelle, la géométrie de Schwarzschild est aussi la géométrie locale d’une étoile ou autour d’une planète.
Tolman, Oppenheimer et Volkov la généralisèrent en 1938 pour obtenir la solution à l’intérieur d’une étoile, et cela leur permit de décrire la physique interne d’une étoile à neutrons où les corrections relativistes deviennent très importantes. Oppenheimer et Snyder étendirent ensuite en 1939 cette géométrie pour décrire l’effondrement terminal d’une étoile sur elle-même, aboutissement à un trou noir.
Le renouveau des études relativistes dans les années 1960 suscita un regain d’intérêt pour ces solutions de l’équation d’Einstein, ainsi que pour la solution plus complexe obtenue par Reissner en 1916 et Nordström en 1918 (dont on ne comprit qu’en 1960 qu’elle décrivait la géométrie autour d’une masse électriquement chargée) et pour celle découverte par Kerr en 1964 (décrivant la géométrie autour dune masse en rotation). Puis la théorie des trous noirs pris son envol.

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Pour la Science octobre / décembre 2004 L'histoire de l'Univers n45
 
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