Nombres complexes La petite histoire Comprendre simplement Domaines de présence Son interprétation dans l'avenir Les références Mais encore …

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La petite histoire  Up Page Des nombres imaginaires Les nombres que l'on appelle aujourd'hui "complexes" - c'est-à-dire "composés" - sont introduits par Jérôme Cardan en 1545 afin de résoudre une équation quadratique contenant la racine d'un nombre négatif. On les nomme tout à tour "sophistiqués", "impossibles", "absurdes", "imaginaires"... Parce qu'on ne dispose pas d'une représentation de telles quantités étranges, on se demande quel est le mode d'existence de ces nombres qui se montrent extrêmement utiles en mathématiques et en physique. Dans les siècles suivants, on apprend à travailler avec eux; des mathématiciens comme Euler et Cauchy en formulent une théorie. Mais les doute sur leur existence ne se dissipent pas. Et ce n'est que durant la première moitié du XIXe siècle qu'ils acquièrent leur véritable statut, grâce, d'une part, à l'interprétation géométrique proposée par Gauss et, d'autre part, à l'interprétation structurelle ou algébrique initiée par Cauchy et pefectionnée par Hamilton. Le XIXe siècle voit aussi l'utilisation des nombres complexes en géométrie et en électricité, entre autres. Ainsi liés à la réalité, ils ne sont plus purement imaginaires, maus naturalisés. Le XXe siècle, enfin, transforme le problème d'existence en une question purement formelle  - celle de la cohérence. Alors, la métaphysique des entités mathématiques ne compte plus.

Comprendre simplement  Up Page Origine, raisons, hasard Les mathématiciens du 19e siècle vont continuer à faire progresser l'analyse. Au début du siècle, le physicien allemand Karl-Friedrich Gauss (1777-1855) formule une définition claire des nombres complexes. Ces nombres sont de la forme x + iy, avec x et y appartenant aux nombres réels, et i un nombre imaginaire tel que i² = -1. Les nombres imaginaires permettent d'admettre et d'utiliser des carrés négatifs et ils deviendront un outil très utile aux physiciens.

Domaines de présence  Up Page Monde présent

Son interprétation dans l'avenir  Up Page Décomposition de signal La "transformée de Fourier rapide" est liée aux travaux du mathématicien français Joseph Fourier, a été redémontrée par James Cooley et John Tukey en 1965. Initialement conçue pour des problèmes de décomposition de signaux en somme de signaux sinusoïdaux, elle a été ensuite adaptée en 1971 par Arnold Schönhage et Volker Strassen pour permettre, enfin, de gagner du temps lors du produit de deux nombres. Effectivement, pour multiplier deux nombres de n chiffres, il faut n² opérations élémentaires, sans même parler des additions qui suivent dans la seconde étape du calcul. Avec la transformation de Fourier rapide, le temps de calcul du produit est considérablement réduit: <5n. Exactement nlog2(n)log[log2(n)]. Plus les nombres sont grands, plus la transformation de Fourier rapide devient avantageuse.   Tout nombre entier peut se décomposer en une fonction polynome P(x) de degré n, telle que P(x)=anxn+an-1xn-1+ ... +a1x+a0. On en fera de même pour le produit PQ des nombres P et Q obtenu. Ensuite, il suffira de connaître les "racines n-ièmes de l'unité" de ce nouveau nombre PQ. Il s'agit de nombres complexes vérifiant la relation ωn=1. La liste des racines n-ièmes de l'unité peut s'écrire sous la forme d'une suite de puissances d'un même nombre complexe: 1, ω, ω2, ω3, ω4, etc, jusqu'à ωn-1; ω étant une racine n-ième de l'unité choisie. A cette commodité de calcul, se rajoute une technique consistant à partager le calcul en deux sous-calculs indépendants: l'un traite les puissances paires, l'autre les puissances impaires. D'autant mieux que chaque sous-calcul peut lui aussi se partager en deux, et ainsi de suite.

Les références  Up Page Réseau Pepe Cybersciences Recherche février 2005 n°383 Science & Avenir Hors-Série Les fictions de la science Juillet 2006 / août 2006 n°147   Pourquoi ce site Je crois que, si les êtres humains que nous sommes ne parviennent pas toujours à évoluer comme ils le souhaiteraient _à s'épanouir professionnellement, sentimentalement et sexuellement (ce que j'appelle les trois pôles d'intérêts) c'est parce qu'il y a des barrages qui entravent leur désir d'accéder à un rêve inachevé. Je pars du principe que tout est possible, à condition de s'entourer de gens qui nous poussent à croire en nous.   Contribuer au Réseau Pepe Ce site est avant tout une encyclopédie ouverte à l'imagination et au savoir, où chacun(e) d'entre vous peut participer. Si vous avez envie de partager une passion, ou si vous sentez le besoin de vous exprimer sur un point précis, je vous invite à m'adresser un e-mail (adresse électronique accessible sur ma page d'accueil).

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