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La petite histoire  Up Page Origine, raisons, hasard

Comprendre simplement  Up Page Le nombre π et Ö2 A la fin du XVIIIe siècle l'Allemand Carl Gauss s'intéresse à l'algorithme de la moyenne arithmético-géométrique. Cet algorithme part de deux nombres a et b dont on calcule les moyennes arithmétique [(a+b)/2] et géométrique [(ab)], pour obtenir deux nouveaux nombres dont on calcule à nouveau les moyennes arithmétiques et géométriques, et ainsi de suite. On peut démontrer que plus on avance ainsi, plus les nombres obtenus par paires s'approchent d'une même valeur, notée M(a,b). Gauss trouve en 1799 un lien inattendu entre la longueur de la lemniscate, qu'il note ω (pi script) et la moyenne arithmético-géométrique, qui rapproche de façon tout aussi inattendue . Le 30 mai de cette année-là, il écrit en effet dans son journal: "J'ai démontré que les 11 premières décimales de la moyenne arithmético-géométrique de 1 et de Ö2 sont les mêmes que celles de π/ω; la démonstration de ce fait ouvrira sûrement tout un nouveau champ de recherche en analyse." Ce n'est finalement qu'en 1818 que Gauss donne une démonstration rigoureuse de l'égalité M(Ö2 , 1)=π/ ω.   L'intégrale elliptique complète de première espèce, notée I(a,b), qui se trouve liée à M(a,b) par la relation M(a,b) x I(a,b)=π/2. Lorsque a=1 et b=Ö2, l'intégralité elliptique correspondante est égale à la moitié de la longueur ω de la lemniscate, d'où l'égalité de Gauss. L'intégrale elliptique complète de première espèce est la fonction qui exprime la période d'un pendule oscillant en fonction de l'angle de départ.

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Les références  Up Page Réseau Pepe Recherche décembre 2005 n°392   Pourquoi ce site Je crois que, si les êtres humains que nous sommes ne parviennent pas toujours à évoluer comme ils le souhaiteraient _à s'épanouir professionnellement, sentimentalement et sexuellement (ce que j'appelle les trois pôles d'intérêts) c'est parce qu'il y a des barrages qui entravent leur désir d'accéder à un rêve inachevé. Je pars du principe que tout est possible, à condition de s'entourer de gens qui nous poussent à croire en nous.   Contribuer au Réseau Pepe Ce site est avant tout une encyclopédie ouverte à l'imagination et au savoir, où chacun(e) d'entre vous peut participer. Si vous avez envie de partager une passion, ou si vous sentez le besoin de vous exprimer sur un point précis, je vous invite à m'adresser un e-mail (adresse électronique accessible sur ma page d'accueil).

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