Fractions égyptiennes
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La petite histoire  Up Page
Numérateur unique
Les Egyptiens ne concevaient qu'une valeur pour le numérateur d'une fraction: 1. Cette contrainte permet d'élaborer de nombreuses énigmes.
 
Ils concevaient que des fractions rationnelles puissent avoir un numérateur supérieur à un, mais, apparemment, ne savaient, ou ne voulaient, les manier en tant que nombres à part entière dans leurs calculs. En outre, exceptés 2/3 et 3/4 qui étaient représentés chacun par un hiéroglyphe spécial, ils n'avaient de symbole que pour les fractions de numérateur un.
Les Egyptiens utilisaient pour exprimer ce type de fractions un hiéroglyphe en forme de bouche sous lequel ils plaçaient un nombre  en guise de dénominateur. Pour calculer, les Egyptiens décomposaient les fractions dont le numérateur est supérieur à un en une somme de fractiosns "unitaires" distinctes, par exemple, 47/60 = 1/3 + 1/4 + 1/5.

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Enigmes de partage
Aujourd'hui, l'étude des fractions égyptiennes est un domaine restreint de la théorie des nombres où plusieurs problèmes fondamentaux ne sont pas encore résolus. Certains d'entre eux sont à la portée de l'amateur averti. Prenons le casse-tête arabe de l'homme qui voulait qu'à sa mort on partage ses 11 chevaux entre ses héritiers de sorte que l'aîné en ait la moitié, son deuxième fils le quart et le cadet un sixième.
Lorsqu'il mourut, le notaire fut bien embarrassé pour exécuter les volontés du défunt: un cheval a bien peu de valeur une foois en morceaux ! Un parent informé du problème le résolut en prêtant un de ses chevaux. Les 12 destriers furent alors répartis selon les vœux du testament, les trois fils recevant six, trois et deux chevaux. L'altruiste récupéra le cheval, le sien, qui restait: un altruisme bien calculé !
 
Le partage de n chevaux entre trois héritiers de façon à ce que leurs parts respectent les proportions suivantes 1/a, 1/b et 1/c, n'admet que sept solutions. Dans chaque cas, un cheval est prêté par un tiers, qui le récupère après le partage.
 
					n	a	b	c					
					7	2	4	8
					11	2	4	6
					11	2	3	12
					17	2	3	9
					19	2	4	5
					23	2	3	8
					41	2	3	7
					

 
Ce sont les sept solutions de l'équation diophantienne (parce qu'à coefficients et solutions entières).

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Pour la Science avril / juin 2005 Mathématiques exotiques n°47
 
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