Fractions continues La petite histoire Comprendre simplement Domaines de présence Son interprétation dans l'avenir Les références Mais encore …

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La petite histoire  Up Page Origine, raisons, hasard

Comprendre simplement  Up Page D'Euclide à Euler Les "fractions continues" sont des fractions à étages de la forme ci-contre, où les coefficients sont des entiers positifs (sauf a0 qui peut être négatif). Elles peuvent être finies, quand elles représentent un nombre rationnel (quotient d'entiers) ou au contraire illimitées. L'idée même de la fraction continue remonte à la Chine ancienne et à la Grèce antique, où Euclide savait déjà développer sous cette forme les nombres rationnels à l'aide de l'algorithme qui porte aujourd'hui son nom. Prenez par exemple la fraction 333/106. Il y a déjà la partie entière: 3, et alors 333/106 = 3 + 15/106. Vous faites ensuite la division avec reste, celle qu'on dit euclidienne, de 106 par 15: 106=7x15 + 1, d'où 106/15 = 7 + 1/15 et ainsi, 333/106 = 3 + 1/(7+1/15) Voilà le développement en fraction continue de notre quotient. On écrit en abrégé [3, 7, 15]

Domaines de présence  Up Page Les irrationnels Ces fractions successives, obtenues en tronquant à chaque étape le développement sont les réduites de la fraction continue. Le procédé était connu des Grecs sous le doux nom d'antyphaïrèse (plusieurs orthographes sont admises). Des rationnels, on est vite passé aux irrationnels, pour leur donner une fraction continue. Pour 2 par exemple, une approche consiste à écrire que ce nombre est solution de l'équation x²-1=1 ou (x-1)(x+1)=1, qui se transforme en x-1=1/(x+1) ou encore x=1+1/(x+1) et on recommence x=1+1/[2+(1+x)] d'où le développement 2=[1, 2, 2, 2, 2, ...] Celui-ci, contrairement au précédent, est interminable: c'est la caractéristique des irrationnels. Dans le monde mathématique plus moderne, c'est-à-dire du XVIIe siècle, Wallis, puis Euler se sont passionnés pour ces fractions bizarres, nous laissant sur ce thème de nombreux traités comme De fractionibus continuis dissertatio d'Euler. C'est à un contemporain de Wallis qu'on doit en particulier la jolie formule donnant ce développement ci-contre de π:

Son interprétation dans l'avenir  Up Page Développement Pour déterminer si un nombre est rationnel ou non, on peut regarder si son développement décimal (ou dans n'importe quelle autre base) est périodique ou non. Mais la plupart du temps, on ne connaît pas ce développement. Une autre solution est de regarder si le développement en fraction continue est fini. Qu'est-ce qu'un développement en fraction continue ? Prenons un nombre réel x. On l'écrit x=[x]+{x} où [x] est un nombre entier (la "partie entière de x") et {x}, un nombre réel dans l'intervalle [0,1[ (la "partie fractionnaire de x"). Si x est entier, alors x=[x] et {x}=0. Sinon, on a 0<{x}<1, et on pose x1=1/{x}. On recommence la même procédure avec x1: x1=[x1]+{x1}. Seuls différence, on sait que [x1]>1. Si x1 est entier on s'arrête, sinon on pose x2=1/{x1}. Et ainsi de suite. On peut expliquer cette construction de façon géométrique. On décompose un rectangle de côtés 1 et x en le remplissant avec autant de carrés de côté 1 que possible. Si x n'est pas entier, il reste à la fin un petit rectangle de côtés 1 et {x}. On le remplit de carrés de côtés {x}, et s'il reste encore un plus petit rectangle on recommence. Si le processus finit par s'arrêter, c'est que x est rationnel. La réciproque est vraie.

Les références  Up Page Réseau Pepe Recherche février 2005 n°383 Recherche décembre 2005 n°392   Pourquoi ce site Je crois que, si les êtres humains que nous sommes ne parviennent pas toujours à évoluer comme ils le souhaiteraient _à s'épanouir professionnellement, sentimentalement et sexuellement (ce que j'appelle les trois pôles d'intérêts) c'est parce qu'il y a des barrages qui entravent leur désir d'accéder à un rêve inachevé. Je pars du principe que tout est possible, à condition de s'entourer de gens qui nous poussent à croire en nous.   Contribuer au Réseau Pepe Ce site est avant tout une encyclopédie ouverte à l'imagination et au savoir, où chacun(e) d'entre vous peut participer. Si vous avez envie de partager une passion, ou si vous sentez le besoin de vous exprimer sur un point précis, je vous invite à m'adresser un e-mail (adresse électronique accessible sur ma page d'accueil).

Mais encore …  Up Page Ce que vous avez toujours voulu savoir