Exponentielle La petite histoire Comprendre simplement Domaines de présence Son interprétation dans l'avenir Les références Mais encore …

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La petite histoire  Up Page Origine, raisons, hasard Un homme investit 1 dollar dans une banque qui offre un taux d'intérêt de 100 % par an. Si cette somme est versée sur le compte de l'épargnant en une seule fois à la fin de l'année, l'homme récupérera 2 dollars sur son compte au bout d'un an. Si cette somme est versée tous les mois, l'homme récupérera aux alentours de 2,6 dollars au bout d'un an. Mais si les intérêts sont versés sur le compte de l'homme de façon continue - à chaque instant, la somme d'intérêts à verser est recalculée - un an après son placement l'homme obtiendra e = 2,71828... dollars. Ce nombre, baptisé exponentielle (e) par le Suisse Leonhard Euler au 18e siècle, ne tombe pas juste, mais son utilité n'est plus à prouver : cette constante est utilisée partout, et pas seulement en économie. Elle sert par exemple à mesurer la multiplication de cellules vivant à l'intérieur d'un organisme ou même à déterminer la distribution des nombres premiers parmi l'ensemble des entiers !

Comprendre simplement  Up Page Nombre transcendant Après avoir prouvé la transcendance du nombre e, en 1873, le Français Charles Hermite avat écrit à son ami allemand Carl Borchardt: "Je ne me harsarderai point à la recherche d'une démonstration de la transcendance du nomnre π. Que d'autres tentent l'entreprise; mais croyez-moi, mon cher ami, il ne laissera pas que de leur coûter quelques efforts."   Le nombre e, tout comme pi, est à la fois irrationnel et transcendant. Irrationnel, il ne peut s'écrire comme fraction de deux nombres entiers. Il possède une infinité de chiffres après la virgule, et aucune période n'est décelable dans la suite de ses décimales. Transcendant, e n'est solution d'aucune équation algébrique à coefficient rationnel, c'est-à-dire qu'aucune formule finie ne pourra jamais définir e correctement. Alors, comme pour pi, on cherche à calculer les décimales de e le plus loin possible. A l'heure actuelle, on connaît ses : 1 250 000 000 premières décimales. Le record a été établi par Xavier Gourdon en novembre 1999.

Domaines de présence  Up Page Monde présent

Son interprétation dans l'avenir  Up Page Monde futur Le premier à avoir pressenti l'existence de ce nombre mystérieux est l'Écossais John Napier (1550-1617), qui inventa les logarithmes. A tout nombre positif entier, John Napier associe ses puissances. Par exemple, au chiffre 2, le mathématicien associe les nombres 1 (20), 2 (21), 22, 23, 24, 25... Il crée la fonction logarithme (log) de base 2 qui sert à calculer la puissance à laquelle a été élevée 2 pour obtenir un nombre quelconque x. On a par exemple log32 = log2 25 = 5. Puis John Napier élargit sa définition d'un logarithme. Finalement, un logarithme de base n est une fonction telle que pour tout nombre réel x, on ait logn nx = x. Par exemple, on peut calculer log4 64 = log4 43 = 3 (logarithme de base 4), ou encore log5 625 = log5 54 = 4 (logarithme de base 5). Grâce à cette fonction, on peut retrouver la puissance à laquelle a été élevée un nombre b pour aboutir à un nombre donné a.   Parallèlement, les mathématiciens ont aussi étudié la fonction qui à x associe le nombre 1/x. La primitive (intégrale) de cette fonction qui s'annule en 0 est notée ln. Mais ln est une fonction logarithme, tout comme log2, log3, log10 ! Sa base est un nombre impossible à écrire, proche de 2,71828... et qui est l'exponentielle e. C'est-à-dire qu'on a, pour tout x réel, ln x = loge x. C'est ainsi que l'on peut écrire ln ex = x. En étudiant la fonction exponentielle (c'est-à-dire la fonction qui a x réel associe ex), on trouve par exemple e0 = 1, ou ex+y = ex . ey. Les mathématiciens ont découvert de nombreuses formules infinies de e. Par exemple, on se rend compte que e = limn->infini (1 + 1/n)n, avec n un nombre entier positif.

Les références  Up Page Réseau Pepe Cybersciences Recherche décembre 2005 n°392   Pourquoi ce site Je crois que, si les êtres humains que nous sommes ne parviennent pas toujours à évoluer comme ils le souhaiteraient _à s'épanouir professionnellement, sentimentalement et sexuellement (ce que j'appelle les trois pôles d'intérêts) c'est parce qu'il y a des barrages qui entravent leur désir d'accéder à un rêve inachevé. Je pars du principe que tout est possible, à condition de s'entourer de gens qui nous poussent à croire en nous.   Contribuer au Réseau Pepe Ce site est avant tout une encyclopédie ouverte à l'imagination et au savoir, où chacun(e) d'entre vous peut participer. Si vous avez envie de partager une passion, ou si vous sentez le besoin de vous exprimer sur un point précis, je vous invite à m'adresser un e-mail (adresse électronique accessible sur ma page d'accueil).

Mais encore …  Up Page Ce que vous avez toujours voulu savoir La fonction exponentielle possède une propriété bien étrange, qui lui est unique: sa dérivée est égale à elle-même. Cette propriété exceptionnelle a été d'une grande utilité en physique. Prenons un exemple. Une chimiste observe que la vitesse d'accélération d'une réaction chimique est proportionnelle à sa vitesse: plus la réaction est rapide, plus elle s'accélére rapidement. Cela signifie que si la chimiste étudie l'évolution de la vitesse de la réaction, elle sera en même temps renseignée sur l'évolution de l'accélération de la réaction. La dérivée de la fonction vitesse (l'accélération) est donc grosso modo égale à la fonction vitesse elle-même. Cette fonction est donc exponentielle.