Equations différentielles
La petite histoire
Comprendre simplement
Domaines de présence
Son interprétation dans l'avenir
Les références
Mais encore …
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La petite histoire  Up Page
Origine, raisons, hasard
Comme c'est faire du calcul infinitésimal et tout particulièrement du calcul intégral que de résoudre une équation différentielle, on retrouve avec Newton et Leibniz les premiers mathématiciens qui apportèrent une solution satisfaisante à certaines équations différentielles simples du premier et second ordre.
La théorie ne se structure qu'au 19ième siècle avec Cauchy. Au 20ième siècle, avec Klein et Poincaré, les progrès sont considérables. Ces mathématiciens, en cherchant des solutions à des équations différentielles de plus en plus variées, font avancer l'ensemble de l'analyse et ouvrent des voies insoupçonnées en créant de nouvelles fonctions.
La loi d'évolution de nombreux phénomènes naturels est souvent solution d'une équation différentielle. C'est le cas, par exemple, lorsque deux quantités x et y sont telles que dx/dy est proportionnel à y. Ce type d'équations différentielles du premier ordre apparaît en biologie (prolifération de bactéries) et dans de nombreuses réactions chimiques. La physique utilise la solution d'équations différentielles du premier ordre et du second ordre dans les problèmes d'oscillations non amorties ou entretenues, des problèmes de décharge d'un condensateur ou de résistance de matériaux.

Comprendre simplement  Up Page
Vulgarisation, de 7 à 77 ans
Les équations différentielles sont des égalités faisant intervenir une fonction f et ses dérivées f ', f ", ... comme par exemple dans :
(1) : pour tout x de I, f ' (x) - f (x) = 2 x + 4.
(2) : pour tout x de I, f " (x) + 3 xf ' (x) - f (x) = ex (I est un intervalle).
 
Résoudre une équation différentielle c'est trouver toutes les fonctions vérifiant une égalité donnée ; il n'existe pas de méthode générale et la résolution d'une équation différentielle reste donc difficile voire impossible.
Notons enfin que l'on a l'habitude de noter (1) et (2) sous la forme traditionnelle suivante :
(1) y ' - y = 2 x + 4.
(2) y " + 3 x y ' - y = ex où y désigne une fonction.
 
Beaucoup de phénomènes de physique, en mécanique et électricité par exemple, se ramènent à des équations différentielles. Exemple : si t -> y (t) est la fonction qui à l'instant t associe la position y d'un mobile, y ' sera la vitesse de ce mobile et y " l'accélération. Or dans un système dynamique, y " est liée à une force qui est souvent fonction de la position et de la vitesse. Ceci conduit alors à une équation entre y, y ' et y ", équation différentielle dite du second ordre.

Domaines de présence  Up Page
Monde présent
Les équations différentielles ont été inventées par Newton (1642-1727). C'est le début de la physique moderne et l'utilisation de l'analyse pour résoudre la loi de la gravitation universelle conduisant à l'ellipsité des orbites des planètes dans le système solaire. Leibniz (1646-1716) érige l'analyse en discipline autonome mais il faut attendre les travaux d'Euler (1707-1783) et de Lagrange (1736-1813) pour voir apparaître les méthodes permettant la résolution des équations linéaires.
Dans la foulée de Newton, les mathématiciens Laplace, Lagrange et Gauss développent les méthodes de la théorie des perturbations; ces méthodes permettent par exemple de déterminer les perturbations séculaires (i.e. petites par rapport au mouvement annuel) des orbites des planètes.
Plus tard, Liouville (1890-1882) montrera l'impossibilité de résoudre certaines équations différentielles même d'ordre peu élevé.
De nos jours beaucoup de mathématiciens, à commencer par Poincaré (1854-1912), ont montré que les solutions d'équations différentielles peuvent être très instables; ces équations peuvent conduire à des situations chaotiques à cause d'une grande sensibilité aux conditions initiales. Ces mathématiciens ont contribué à détruire le mythe que l'on pouvait décrire le monde uniquement à partir d'équations différentielles qu'ils suffisaient alors de résoudre !
Par exemple l'atmosphère de la terre peut être simulée par des équations différentielles qui vont permettre de calculer à partir de données initiales le temps à des instants donnés successifs.
Mais on sait aussi qu'entre une situation calculée par ordinateur et une situation météo réelle il y a une différence qui va en s'accroissant à tel point qu'au bout de 8 à 10 jours il peut avoir une situation simulée qui n'a rien de commun avec la situation réelle. Il y a une telle sensibilité aux conditions initiales qu'on dit même que le vol d'un papillon au dessus de Pékin peut entraîner l'apparition d'un cyclone dans le sud des Etats-Unis quelques semaines après.

Son interprétation dans l'avenir  Up Page
Monde futur
Jacques Bernoulli (1654-1705)
Mathématicien qui énonça les premiers principes du calcul infinitésimal et fit figure de pionnier dans la théorie des probabilités. Il utilisa le calcul infinitésimal dans un grand nombre de problèmes et fut le premier à employer le mot "intégrale?". Il a également laissé son nom à une équation différentielle dont il proposa l'intégration (équation de Bernoulli).
Daniel Bernoulli (1700-1782)
Il s'intéressa au calcul infinitésimal, aux probabilités et aux équations différentielles.
Jean Le Rond d'Alembert (1717-1783)
Les Réflexions sur la cause générale des vents (1746), élaborées par Alembert, contiennent la première théorie sur la résolution des équations différentielles aux dérivées partielles.
Joseph Louis de Lagrange (1736-1813)
Considéré comme l'un des plus grands mathématiciens du XVIIIe siècle, il introduisit de nouvelles méthodes pour le calcul des variations et pour l'étude des équations différentielles, qui lui permirent de donner un exposé systématique de la mécanique dans son célèbre ouvrage Mécanique analytique (1788).
Baron Augustin Cauchy (1789-1857)
Il s'intéressa également aux équations différentielles, en particulier à l'existence et à l'unicité de leurs solutions.
Birkhoff, George David (1884-1944)
Mathématicien américain. Il a contribué à la théorie des équations différentielles, développé la théorie générale des systèmes dynamiques.

Les références  Up Page
Réseau Pepe
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Je crois que, si les êtres humains que nous sommes ne parviennent pas toujours à évoluer comme ils le souhaiteraient _à s'épanouir professionnellement, sentimentalement et sexuellement (ce que j'appelle les trois pôles d'intérêts) c'est parce qu'il y a des barrages qui entravent leur désir d'accéder à un rêve inachevé. Je pars du principe que tout est possible, à condition de s'entourer de gens qui nous poussent à croire en nous.
 
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