Principes de Fermat, Maupertuis et Lagrange, selon Ken Wharton La petite histoire Comprendre simplement Domaines de présence Son interprétation dans l'avenir Les références Mais encore

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La petite histoire  Up Page Principe de Fermat Le principe de Fermat est aisé à poser. Entre deux points, quels qu'ils soient, le rayon lumineux prend le chemin le plus rapide. Ainsi quand un rayon traverse différents matériaux entre un point X et un point Y, le chemin emprunté sera le plus court possible, en comparaison de tous les autres chemins allant de X à Y. Si un rayon est coudé en passant de l'air à l'eau, ce n'est pas dû à un encha&icir;nement de cause et d'effet, mais parce que c'est globalement plus efficace.   Aussi élégante que soit cette description, elle n'entre pas dans le Schéma Newtonien. Au lieu de poser des données initiales (par exemple la position et l'angle) le principe de Fermat requiert des entrées logiques qui sont à la fois initiales et finales (les positions de X et Y). L'angle initial n'est plus une donnée mais un résultat logique. Au lieu d'états qui évoluent avec le temps, le principe de Fermat aboutit à une comparaison entre des chemins entiers. Ces chemins ne peuvent évoluer avec le temps, du fait qu'ils couvrent déjà l'ensemble de l'espace de temps considéré.

Comprendre simplement  Up Page Principe de moindre action de Maupertuis Cette méthode n'est pas limitée aux rayons lumineux. Au XVIIIe siècle, Maupertuis, Euler et Lagrange ont réussi à faire entrer l'ensemble de la physique classique dans un principe général de minimisation. En général, la quantité globale à minimiser est pour eux l' "action". Comme le principe de Fermat, la Mécanique de Lagrange n'entre pas dans le Schéma de Newton. Elle représente donc une méthode alternative pour aborder le monde physique, méritant ainsi le qualificatif de Schéma Lagrangien.

Domaines de présence  Up Page Le Schéma de Lagrange Comme le Schéma de Newton, le Schéma de Lagrange correspond à une technique mathématique permettant de résoudre des problèmes physiques. Dans les deux schémas, il faut d'abord se donner une représentation mathématique de la réalité physique, en y inscrivant les évènements sous forme de paramètres. A cet égard le Schéma de Lagrange est le plus tolérant des deux. L'on peut choisir la paramétrisation la plus convenable sans changer les règles subséquentes. Au lieu d'un "état", l'objet mathématique clef est un scalaire (un nombre réel qui multiplie un vecteur dans un espace vectoriel) appelé le Lagrangien (ou dans le cas des champs classiques continus la "densité lagrangienne" L (elle dépend du champ q et de ses dérivées temporelle et spatiale). L est une fonction de ces paramètres et de leurs dérivées locales.

Son interprétation dans l'avenir  Up Page Démarches pour retrouver le monde physique Deux démarches sont nécessaires pour retrouver le monde physique à partir de L. Un premier pas consiste à contraindre L aux limites d'une région de l'espace-temps (c'est-à-dire définir X et Y dans la formulation de Fermat). Dans les champs continus, on définit des paramètres de champ continu. Mais on se limite aux paramètres fronti&eagrave;res. Les paramètres intermédiaires et les dérivés des paramètres frontières peuvent avoir toutes les valeurs possibles à ce stade.   Un second pas consiste à choisir l'une de ces possibilités (on leur assigne des poids probabilistes) Ceci s'obtient en faisant la somme des densités lagrangiennes oú que ce soit à l'intérieur de la frontière afin d'obtenir un nombre correspondant à l'action S. La solution classique consiste à minimiser l'action (la moindre action). On retrouve alors la réalité physique.

Les références  Up Page Réseau Pepe Automates Intelligents n°109 - décembre 2012 / janvier & février 2013   Pourquoi ce site Je crois que, si les êtres humains que nous sommes ne parviennent pas toujours à évoluer comme ils le souhaiteraient _à s'épanouir professionnellement, sentimentalement et sexuellement (ce que j'appelle les trois pôles d'intérêts) c'est parce qu'il y a des barrages qui entravent leur désir d'accéder à un rêve inachevé. Je pars du principe que tout est possible, à condition de s'entourer de gens qui nous poussent à croire en nous.   Contribuer au Réseau Pepe Ce site est avant tout une encyclopédie ouverte à l'imagination et au savoir, où chacun(e) d'entre vous peut participer. Si vous avez envie de partager une passion, ou si vous sentez le besoin de vous exprimer sur un point précis, je vous invite à m'adresser un e-mail (adresse électronique accessible sur ma page d'accueil).

Mais encore  Up Page Les actions selon Michel Gondran Michel Gondran, physicien et ancien président de l'Académie interdisciplinaire européenne des sciences, signale l'importance du principe de moindre action et de ses applications dans les sciences physiques, y compris en physique quantique.   Mais il va plus loin que ne le fait Ken Wharton. Il montre qu'il existe en mécanique classique trois actions (et non deux) correspondant à différentes conditions de limites : les deux actions bien connues: l'action Euler-Lagrange classique (Scla) action qui relie la position initiale x0 à sa position x dans un temps t, l'action Hamilton-Jacobi S(x;t) qui relie une famille de particules Scla(x) à leurs diverses positions au temps t, et une troisième action, qu'il propose de prendre en compte, non seulement en physique quantique mais en physique ordinaire, l'action déterministe S(x; t; x0; v0). Elle lie une particule dans la position initale x0 et avec la vitesse initiale v0 à sa position x au temps t.   Ces précisions montrent que Ken Wharton serait encore loin d'avoir épuisé la richesse d'un sujet certes difficile mais qui parait tout à fait d'actualité.