Opérateur DEL ou nabla Accueil Arborescence Page précédente

Trois minutes pour comprendre / Three minutes of learning philippelopes@free.fr © Eric MEYER, veilleur de (con)science

Analyse vectorielle Coordonnées cartésiennes Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques Visualisation des trois repères en vigueur Il peut être nécessaire, afin de simplifier les règles de calcul, de changer de référentiel, de repère. Il est primordial de savoir passer d'un système de coordonnées à l'autre. L'opérateur nabla est un outil de "dérivation". Il effectue une succession de dérivées partielles. L'utilisation des expressions du nabla dans un système de coordonnées, autre que cartésiennes demande une grande vigilance (erreurs de transcription des dérivées partielles, suivant la bonne variable). Repère orthonormé: trois axes (Ox, Oy, Oz) perpendiculaires, vecteurs unitaires (i,j,k) de mêmes grandeurs. Point de coordonnées (x,y,z). Repère polaire: un rayon r ou ρ (lettre grecque rho), un angle θ (lettre grecque theta) par rapport à l'axe (Ox) et au plan (Oxy), une hauteur z. Point de coordonnées (r,θ,z). Repère polaire: un rayon r ou ρ (lettre grecque rho), un angle φ (lettre grecque phi) par rapport à l'axe (Ox) et au plan (Oxy), un angle θ (lettre grecque theta) par rapport à l'axe (Oz). Point de coordonnées (r,θ,φ). Equivalence de valeurs x y z x = rcosθ = r . cos(θ) y = rsinθ = r . sin(θ) z = z x = rsinθcosφ = r . sin(θ) . cos (φ) y = rsinθsinφ = r . sin(θ) . sin (φ) z = rcosθ = r . cos(θ) Opérateur différentiel nabla L'opérateur vectoriel, symbolisé par un triangle avec la pointe vers le bas, est appelé del ou nabla, du nom d'un ancien instrument de musique "nabla" (harpe ou lyre, en grec). "Vectoriel", cela signifie que l'opérateur mathématique en question effectue des opérations mathématiques sur les trois axes du repère. Ici, il s'agira d'obtenir des dérivées partielles (3 parties, car 3 axes). ou sous forme matricielle : ou Champ vectoriel Gradient d'une fonction scalaire Le gradient mesure la variation d'une grandeur. Dans le cas d'une carte topographique comportant des lignes de niveaux, les lignes de niveaux représentent l'altitude. Le gradient de l'altitude sera la variation d'altitude par unité de longueur, soit la pente. Plus les lignes de niveaux sont rapprochées plus la pente est raide, et plus le gradient est fort. Il en va ainsi de l'altitude, tout comme pour la température ou la pression. Divergence d'une fonction vectoriel Le divergence d'un champ scalaire n'existe pas. Le résultat de la divergence d'un champ vectoriel est un vecteur, un champ vectoriel (ou micro-flux). La divergence mesure le flux (variation de vitesse, densité de matière) en un point donné. La variable mesurée peut être la vitesse d'un gaz. Il y a lieu, ici, de tenir compte de deux grandeurs (ou paramètres) afin de bien interpréter la divergence: la direction (de quel côté ça va) et le module (intensité ou vitesse de déplacement). Afin de bien comprendre la divergence, imaginez une automobile dont les deux roues de devant sont indépendantes l'une de l'autre. Si une des deux roues tourne, le véhicule tournera dans cette direction (changement de direction). Si l'une des deux roues roule plus ou moins vite, le véhicule tournera aussi (changement de module). Si les deux roues tournent du même côté, le véhicule tournera également (changement de direction). Rotationnel d'une fonction vectoriel Le rotationnel d'un champ scalaire n'existe pas. Le résultat du rotationnel d'un champ vectoriel est un vecteur, un champ vectoriel. L'opérateur mathématique rotationnel permet de mesurer localement un tourbillon. Le rotationnel mesure la tendance d'un objet situé dans ce champ à pivoter. Alors que la divergence donne la direction du flux, le rotationnel informe si ce flux est tourbillonnaire. Deux modules, ou deux directions différentes, font tourner l'objet dans ce champ. Laplacien d'une fonction scalaire Le résultat du laplacien d'une fonction scalaire est un scalaire, un champ scalaire. L'opérateur laplacien _du nom de Pierre-Simon Laplace, 1749-1827_ mesure les irrégularités, les fortes variations d'une (ou des) variable(s) dans une fonction. L'opérateur mathématique laplacien est dit d'ordre deux (ou de second ordre), car il "convertit" le champ en question, en dérivées secondes. Alors qu'une dérivée première donne la pente d'une fonction (positive, négative ou nulle), la dérivée seconde exprime la courbure de la fonction (concave, convexe ou surface minimale). Laplacien d'une fonction vectoriel Le résultat du laplacien d'une fonction vectorielle est un vecteur, un champ vectoriel. L'opérateur laplacien _du nom de Pierre-Simon Laplace, 1749-1827_ mesure les irrégularités, les fortes variations d'une (ou des) variable(s) dans une fonction. L'opérateur mathématique laplacien est dit d'ordre deux (ou de second ordre), car il "convertit" le champ en question, en dérivées secondes. Alors qu'une dérivée première donne la pente d'une fonction (positive, négative ou nulle), la dérivée seconde exprime la courbure de la fonction (concave, convexe ou surface minimale).