Houdini: Origine des fractales

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© Houdini

La petite histoire  Up Page Origine, raisons, hasard Nous sommes tous habitués aux objets de la géométrie euclidienne: aux droites, aux cercles, aux rectangles, aux cubes... Ils nous permettent de décrire simplement ce que l'on trouve dans la nature. Ainsi, les troncs d'arbres sont approximativement des cylindres et les oranges des sphères. Mais comment fait-on pour décrire un chou-fleur, un flocon de neige, les poumons, les fluctuations des marchés boursiers ou même un arbre entier? En effet, les choses se compliquent, la géométrie euclidienne a atteint sa limite. Les scientifiques ne se sont pas découragés, et les mathématiciens ont montré l'intérêt de la géométrie fractale pour caractériser les objets "ayant la propriété de pouvoir être décomposés en parties de telle façon que chaque partie soit une image réduite du tout". Vous l'avez bien compris, la géométrie fractale permet de caractériser des objets ayant une forme très irrégulière, et qui ont la propriété d'invariance par changement d'échelle. C'est à dire que si vous regardez un objet fractal au microscope ou à l'oeil nu, vous allez voir la même chose. Cette particularité d'auto-similarité est très étonnante, et les fractales ont bien d'autres propriétés, plus fascinantes les unes que les autre.   Découvreurs Les premiers fractales n'étaient pas vraiment des fractales, elles étaient plutôt des expérimentations mathématiques. Ces objets constituaient pour les mathématiciens des erreurs ou des exceptions de la géométrie. Nous avons retracé ces formes à partir du XV siècle par Albrecht Dürer et un pentagone spécial. En 1905 Jean Perrin remarque en observant un colloïde (système de particules en suspension dans un fluide) obtenu en salant de l'eau de savon comme sa forme révèle de nouvelles irrégularités chaque fois qu'on l'observe avec un meilleur grossissement "sans jamais éprouver l'impression nette et reposante que donne, par exemple, une bille d'acier poli..."   Le nom "L-système" vient du nom du biologiste Aristid Lindenmayer qui les inventa, en 1968, pour formaliser la croissance des plantes. Les L-systèmes nous sont surtout connus dans les mathématiques par le biais des fractales.   Le mot "fractal" (du latin fractus, 'brisé') est un mot inventé par le mathématicien français Benoît Mandelbrot en 1975, qui signifie "uniformément fragmenté ou irrégulier et auto-similaire ou structurellement invariant selon l'échelle". Elles sont à la base d'un nouveau système de géométrie permettant de représenter des objets très irréguliers tels que les reliefs montagneux, les amas galactiques ou les côtes rocheuses très découpées (géométrie fractale).   Apparues au XIXe siècle, les fractales sont considérées comme des curiosités mathématiques jusqu'au milieu du XXe siècle. Elles n'acquièrent un statut à part entière que dans les années soixante-dix, grâce au mathématicien français Benoît Mandelbrot qui en fait l'objet d'une nouvelle discipline mathématique: la géométrie fractale. En géométrie euclidienne, les figures ont une dimension entière: 0 pour un point, 1 pour une courbe, 2 pour une surface et 3 pour un volume. En revanche, la dimension d'une fractale peut prendre des valeurs qui ne sont pas des nombres entiers: la dimension fractale constitue une généralisation de la notion de dimension utilisée en géométrie euclidienne.